Start Varia Algebra przyjaźni

Algebra przyjaźni

Jest tyle definicji przyjaźni, wszędzie można znaleźć mnóstwo złotych myśli na jej temat. Każdy z nas doskonale wie, czym jest przyjaźń i kim powinien być dla nas idealny przyjaciel. A może tylko wydaje się nam, że wiemy? Gdy trzeba tę jedyną w swoim rodzaju relację między ludźmi opisać słowami, często nam ich brakuje. Myśli płoszą się i ulatują. Przekonujemy się, że jednak trudno jest mówić o przyjaźni. Złościmy się wtedy na siebie, że jesteśmy tacy nieporadni i milczący. Może więc, zamiast na próżno szukać słów, które najlepiej trafiają w sedno – udowodnić przyjaźń matematycznie, posługując się liczbami? Czy da się nieuchwytny fenomen przyjaźni zapisać za pomocą języka algebry?
Antoine de Saint-Exupéry w Małym Księciu odmalował jeden z najgenialniejszych i najbardziej wzruszających literackich portretów przyjaźni. Są nimi sceny spotkania głównego bohatera z Lisem. Ich rozmowy, pełne prostoty, są pełne głębi i tajemnicy. Zupełnie tak samo jak matematyczne formuły. Prostota, elegancja i piękno w języku matematyki to kryteria, które bardzo się w tej dziedzinie liczą. Podobnie jak dialogi w książce de Saint-Exupéry’ego – te pozornie proste wzory ujmują i określają coś ledwie uchwytnego, co nasz rozum z trudem jest w stanie sobie wyobrazić i pojąć.
Pitagoras, pytany o to, kim jest przyjaciel, odpowiadał: ten, „który jest drugim ja, tak samo jak 220 i 284”. Przyjrzyjmy się dokładniej: każda z nich, osobno, jest całkiem zwyczajna i nie wyróżnia się niczym szczególnym z nieskończonego ciągu liczb. Zanim jeszcze Lis zaprzyjaźnił się z Małym Księciem, powiedział do niego: „Teraz jesteś dla mnie tylko małym chłopcem, podobnym do stu tysięcy małych chłopców”*. Przyglądając się komuś z daleka, nie widzimy zbyt dużo, bo tylko to, co u wielu innych ludzi. Sami u siebie też nie zauważamy niczego niezwykłego, jak Lis, który mówi: „Jestem [...] tylko lisem, podobnym do stu tysięcy innych lisów”.
Lis bardzo pragnął, aby Mały Książę został jego przyjacielem: „jeślibyś mnie oswoił, moje życie nabrałoby blasku”. Gdy zestawimy razem obie liczby: 220 i 284, okaże się, że one, ze sobą w parze, są już czymś zupełnie innym niż w pojedynkę. Przestają już być liczbami jednymi z wielu, bo razem tworzą coś bardzo niezwykłego. Od tej chwili stają się parą liczb zaprzyjaźnionych. Nie widać tego od razu, że te dwie liczby coś ze sobą łączy, że są zaprzyjaźnione. Trzeba dokonać obliczeń, aby to potwierdzić i tym sposobem zagłębić się w ukrytą tajemnicę obu liczb. „Najważniejsze jest niewidoczne dla oczu”, dowiaduje się Mały Książę.
Liczby zaprzyjaźnione, które odkrył Pitagoras, to takie dwie liczby naturalne, gdzie suma dzielników każdej z nich równa się drugiej liczbie. To buduje pomiędzy nimi tajemnicze połączenie o cechach absolutnej doskonałości. Lis tłumaczy istotę przyjaźni Małemu Księciu tymi słowami: „Nie potrzebuję ciebie. I ty także mnie nie potrzebujesz. […] Lecz jeśli mnie oswoisz, będziemy się nawzajem potrzebować”. Pojedyncza liczba też „nie wie”, że być może jest gdzieś druga, niepowtarzalna, jedyna liczba z całego nieskończonego ich ciągu, z którą zostanie zestawiona i dopiero stworzy z nią w parze połączenie idealne. „Będziesz dla mnie jedyny na świecie. I ja będę dla ciebie jedyny na świecie”, wyjaśnia Lis Małemu Księciu. Tak tworzy się więź… „Oswoić znaczy stworzyć więzy”, deklaruje Lis. Dobrze to wiemy z doświadczenia, że gdy obok nas pojawia się ktoś, z kim się zaprzyjaźniamy, swoją obecnością zmienia nasze życie i nas samych.
Policzmy: dzielnikami liczby 284 są: 1, 2, 4, 71 i 142. Gdy je zsumujemy: 1 + 2 + 4 + 71 + 142, okaże się, że razem dają 220. I odwrotnie – dzielniki liczby 220 to: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Po ich dodaniu: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110, otrzymamy 284. Tak liczbami można opisać wzajemność. Co więcej, u obu liczb zaprzyjaźnionych wyłącza się dzielenie liczby przez samą siebie. Tu kryje się tajemnica przyjaźni doskonałej, jest tak, jak gdyby liczby komunikowały sobie wzajemnie swój altruizm: w relacji z tobą ja nie jestem ważna, zapominam o sobie, najważniejsze jest to, by we mnie było jak najwięcej ciebie.
Mały Książę zrozumiał sens przyjaźni z Lisem: „[…] zrobiłem go swoim przyjacielem i teraz jest dla mnie jedyny na świecie”. Jedyny na świecie, wybrany z tysięcy… Nasz przyjaciel jest kimś wyjątkowym i niezastąpionym, a nasza więź z nim jest niepowtarzalna – to sprawia, że czujemy się kimś ważnym. To nadaje naszemu życiu szczególne znaczenie i głęboki sens. Mamy oto matematyczny dowód przyjaźni: dwie liczby są zaprzyjaźnione, jeśli każda z nich jest sumą tego, co dzieli tę drugą. Czy to nie zaskakujące, że w języku matematyki, za pomocą liczb można uchwycić to, co w przyjaźni najistotniejsze, a często niemożliwe do wyrażenia słowami: wzajemność, lojalność, wierność, altruizm, empatię?
Prawa i twierdzenia matematyczne są stałe. Nic nie jest w stanie ich zmienić, unieważnić, na jakiś czas zawiesić. Równie trwała i niewzruszona jest przyjaźń. Lis przekazuje Małemu Księciu i tę prawdę: „Stajesz się odpowiedzialny na zawsze za to, co oswoiłeś”. Nie ma żadnej siły, która zerwałaby przyjaźń, choć nieraz przechodzi ona wiele trudnych prób. Matematyczne twierdzenie, które okazuje się fałszywe, nigdy nie było prawdziwe. Przyjaciel, który przestał być przyjacielem – nigdy nim nie był. Ale o tym dowiadujemy się zawsze dopiero po czasie.
W matematyce można odnaleźć sens i sekret przyjaźni. Czy to nie ostatnie miejsce, w którym dokonywalibyśmy takich poszukiwań? Może szkoda, że tak jest – przecież liczby kryją w sobie wiele zagadek. Takie odkrycia stają się czymś absolutnie wyjątkowym, gdy spostrzegamy, że sekrety liczb przenikają się z tajemnicą ludzkiej duszy. W obu tych światach tyle jeszcze pozostaje do odkrycia i zgłębienia.

Joanna Kapica-Curzytek

* Źródło cytatów: A. de Saint-Exupéry, Mały Książę, tłum. J. Szweykowski, Warszawa 1972.